Диференціальні рівняння. Задача Коші, Детальна інформація

Знайшовши тангенс від суми аргументів, одержуємо:

.

(загальний розв’язок, записаний у явному вигляді).

8.2. Лінійні диференціальні рівняння

Означення. Лінійне однорідне диференціальне рівняння першого порядку має вигляд

y(=a(x)(y=0 (8.3)

Таке рівняння розв’язують як рівняння із розділеними змінними:

;

;

;

;

- загальний розв’язок.

Означення. Лінійне диференціальне рівняння першого порядку має вигляд

y(+a(x)(y=b(x) (8.4)

Одним із методів його розв’язування є шукання розв’язку у вигляді

.

Приклад. Розв’язати лінійне (неоднорідне) рівняння

.

Розв’язок однорідного рівняння y(+2xy=0 має вигляд

.

Розв’язок неоднорідного рівняння шукаємо у вигляді

,

де C(x) функція від x .

,

і підставимо відшукані значення y та y( в початкове рівняння:

;

С((x)=2x ;

dC(x)=2xdx ;

C(x)=x2+C .

Отримуємо загальний розв’язок