Диференціальні рівняння. Задача Коші, Детальна інформація

) ;

;

;

;

(отримано загальний розв’язок) .

. Цю функцію (логістичну функцію, рис. 8.1) було розглянуто в темі 4. Вона описує динаміку кількості y проданого товару залежно від часу t. Відщукання конкретних параметрів (, ( та ( - завдання дисципліни “Економетрія”.

y

b/a

y0=Cb/(1+Ca)

x

Рис. 8.1.

Попит при постійній еластичності.

Нехай Q - розмір попиту на деякий товар залежно від його ціни p. Нехай Q(p0)=Q0 . Нехай еластичність попиту за ціною EQp=E є сталою на деякому інтервалі. Для побудови функції попиту Q=Q(p) зі сталою еластичністю розв’язуємо задачу Коші (оскільки еластичність EQp обчислюються за допомогою похідної: EQp=Q(((p/Q) ):

;

;

;

Q=C(pE .

З урахуванням початкових умов отримуємо явний вигляд функції попиту

.

Зокрема, при еластичності E = -1 (збільшення ціни на 1% приводить до зменшення попиту на 1%) попит залежно від ціни описує функція

, тобто обернена функція.

Корисність при постійній схильності до ризику.

, де U(x) - функція корисності цієї особи. Побудуємо функцію корисності для особи зі сталою (незалежною від x ) схильністю до ризику r(x)=r (як звичайно, r<0).

за умов U(0)=0, U((0)=k.

Маємо задачу Коші

,

тобто лінійне однорідне рівняння другого порядку U(-rU(=0.

Будуємо характеристичне рівняння (2-r(=0, коренями якого є числа (1 = 0 та (2 = r.

Отримуємо загальний розв’язок:

U(x)=C1e0(x+C2er(x =C1+C2 er(x .