Диференціальні рівняння першого порядку (з відокремлюваними змінними, однорідні, лінійні, Бернуллі), Детальна інформація

, то виконується умова (12.26), і навпаки, з виконання умови (12.25) випливає, що ліва частина рівняння (12.25) – повний диференціал (вперше цю умову отримав член Петербурзької академії наук Л.Ейлер (1707-1783)).

.

            Оскільки

,

маємо



 визначаються за формулами

  . 

  та

, що й доводить рівність (12.26).

, завдяки якій диференціальне рівняння (12.25)  можна подати у формі

                                    (12.27)

, то інтегруючи, маємо

                                 (12.28)

, користуючись формулою (12.28):

                        (12.29)

 і користуючись умовою (12.26) для заміни підінтегральної функції, з (12.29) отримуємо

.

   або

.

,

у вираз (12.28), отримаємо

.

            Це дозволяє записати загальний розв’язок рівняння (12.25) (або те ж саме рівняння (12.27)) у вигляді:

- довільна стала.

Зауваження.  На практиці зручніше продиференціювати

.

            Приклад .  Розв’язати рівняння



            Р о з в ’ я з о к.  Позначимо