Диференціальні рівняння першого порядку (з відокремлюваними змінними, однорідні, лінійні, Бернуллі), Детальна інформація

- аргументом. Це ж саме рівняння можна записати й так:



- аргументом, то дістаємо лінійне рівняння.

            Розглянемо деякі приклади розв’язання лінійних диференціальних рівнянь першого порядку.

           

:

а) методом варіації довільної сталої;

.

Р о з в ‘ я з о к. а) Згідно з методом варіації довільної сталої спочатку розв’яжемо відповідне рівняння без правої частини:

.

.

 у вихідне рівняння:

.

- довільна стала.

Таким чином, загальний розв’язок має вигляд

.

:

.

довільна стала ) збігається як слід було чекати, із розв’язком, знайденим раніше.

            Приклад 2.  При відстоюванні суспензії має місце повільне осідання твердих частинок під дією сили ваги , якщо опір середовища пропорційний швидкості осідання частинок, що осідають в рідині без початкової швидкості.

 дістаємо рівняння

,

.

, спочатку відшукаємо загальний розв’язок рівняння. Використаємо метод варіації довільної сталої. Відповідне однорідне рівняння має вигляд

.

            Після відокремлювання змінних та інтегрування отримаємо

.

.

,