Диференціальні рівняння першого порядку (з відокремлюваними змінними, однорідні, лінійні, Бернуллі), Детальна інформація

            Це диференціальне рівняння першого порядку з відокремлюваними змінними. Подамо його у вигляді

.

            Загальний інтеграл рівняння

                               (12.6)

            Знайдемо інтеграл у лівій частині рівності (12.6):



).  Загальний інтеграл (12.6) має форму

.

:

                                  (12.7)

  та визначимо довільну сталу (у даному

, звідки

                                            (12.8)

            Підставимо вираз (12.8) у загальний розв’язок (12.7) і спростимо результат. Отримаємо шуканий частинний розв’язок:

.                (12.9)

            Його графіком є так звана логістична крива (рис.12.1).



                                                                                                                                                                      

                                                    Рис.12.1

, пропорційна добуткові концентрації цих речовин.

.

. Згідно з умовою

                                        (12.10)

 рівняння (12.10) запишемо у вигляді



або

                            (12.11)

.

            Цікаво відзначити, що рівняння (12.11) збігалося з рівнянням (12.5). Вперше таке рівняння використано у 1845 р. і названо як рівняння Ферхольста - Перла, застосовувалось воно для опису динаміки чисельності популяції в біології. Зауважимо, що такий самий вигляд мають рівняння інших процесів – наприклад, попиту на сезонні масові послуги на підприємствах побутового обслуговування, а також випаровування вологи з пористої речовини тощо.

 - рівняння процесу радіоактивного розпаду, залежності атмосферного тиску від висоти, процесу розряду конденсатора через опір й ін.