Реферат на тему:
Диференціальні рівняння.
Задача Коші
ПЛАН
1. Поняття про диференціальні рівняння. Рівняння з розділеними
змінними.
2. Лінійні диференціальні рівняння.
3. Задача Коші. Застосування диференціальних рівнянь в економіці.
1. Поняття про диференціальні рівняння. Рівняння з розділеними
змінними
Ряд задач економіки та упраління, що розгортаються в часі, описуються диференціальними рівняннями.
Означення. Звичайним диференціальним рівнянням називається рівняння, у яке входять незалежна змінна, функція від цієї змінної та похідні різних порядків:
F(x,y,y(,y(,…)=0
Найвищий порядок похідної при цьому називається порядком рівняння.
Приклади.
1. Диференціальне рівняння другого порядку y(+2y(-3y=x2+1 .
2. Диференціальне рівняння третього порядку y((=cos(x).
Означення. Розв’язком диференціального рівняння називають функцію, яка в разі підстановки у рівняння перетворює його у тотожність.
Приклади.
1. Розв’язками диференціального рівняня першого порядку y(=3x2 є функції y=x3, y=x3+10, y=x3-3.5,…
Отже, загальний розв’язок цього рівняння має вигляд y=x3+C , де C - довільна стала.
2. Загальним розв’язком рівняння другого порядку y(=sin(x) є сім’я функцій (кривих) y= -sin(x)+C1x+C2, де C1 та C2 - довільні сталі. Частковими ж розв’язками є, наприклад, функції y= -sin(x)+10, y= - sin(x)+2x+1 тощо.
Крім звичайних диференціальних рівнянь, розглядають також рівняння з частинними похідними (шукана функція залежить від декількох змінних), наприклад:
u(x(x,y)+u(y(x,y)=2u(x,y)+x+y
Означення. Звичайним диференціальним рівнянням першого порядку називається рівняння, у яке входить змінна x, функція y та перша похідна y((x):
F(x,y,y()=0 (8.1)
Розглянемо деякі способи розв’язування таких рівнянь.
Означення. Диференціальне рівняння вигляду
f1(x)((2(y)dx+f2(x)((1(y)dy=0 (8.2)
називається рівнянням з розділеними змінними.
|
Скачати "Реферат на тему Диференціальні рівняння. Задача Коші"
