Квадратичні форми, їх приведення до діагонального (канонічного) вигляду. Приведення рівняння кривої другого порядку на площині до канонічного вигляду на основі теорії квадратичних форм. Модель Леонтьєва багатогалузевої економіки, Детальна інформація

  

4.4.3. Зведення загального рівняння поверхні (лінії) другого порядку до канонічного вигляду

   Квадратичними формами від трьох змінних описується ряд поверхонь тривимірного простору. Вивчення їх властивостей, наприклад, однопорожнинного гіперболоїда, привело до можливості вирішення цікавих, високої міцності технічних конструкцій при малих затратах матеріалу і простоти їх реалізації. Прикладами таких споруд є конструкції інженера В.Г.Шухова (1853-1939) (водонапірний резервуар у м. Конотопі Сумської області, телевежа Шухова у Москві, щогли, башти, опори тощо).

   У сучасний період, коли інтенсивно використовуються ЕОМ, навіть при обробці складних поверхонь важливих деталей машин і установок за допомогою копіювально-фрезерних верстатів, конструктор прагне задавати контури деталей аналітичними поверхнями. Питання зведення заданої матриці до діагональної форми і розшукання матриці, за допомогою якої здійснюється це зведення, є алгебраїчним аналогом того факту сучасної квантової механіки, згідно з яким матрична механіка Гейзенберга по суті рівнозначна хвильовій механіці Шредінгера. Різниця тут полягає лише в тому, що в подібних питаннях доводиться мати справу з простором, що має нескінченну кількість вимірів. Але для вивчення таких питань обмежитись лише рамками звичайної алгебри неможливо, потрібний вихід в апарат аналізу.

Загальне рівняння поверхні другого порядку має вигляд

 (4.24)  



(4.25)

Зведення цих рівнянь до канонічної форми здійснюється за два етапи.

   І. Зведення квадратичної форми

  (4.26)

 (4.27)

   В результаті здійснення першого кроку рівняння (4.24) набуває вигляду

 4.28)

, або двох із них, або лише одного. Рівняння (4.25) спрощується так само. Різниця лише в тому, що вказані два етапи будуть значно простішими, бо в (4.25) маємо справу не з трьома, а з двома змінними.

Питання про спрощення квадратичних форм розглядалося в попередньому параграфі..

Перший етап.  Поворот системи координат.

Знаходимо корені характеристичного рівняння:



.  

  в (4.28).    Ортогональне перетворення  з геометричної точки зору є повертанням системи координат на такий кут, щоб осі  координат збігалися з осями симетрії поверхні, якщо вона має три осі симетрії. У випадках двох осей симетрії - щоб дві з осей координатної системи збіглися з осями симетрії, у випадку однієї з осей симетрії - з однією з осей координат.

Другий етап. Паралельне перенесення системи координат.

 відмінним від нуля. Для спрощення рівняння (4.28) здійснимо паралельне перенесення системи координат за формулами

 (4.29)

   Для цього формули  (4.29) підставимо в (4.28). Після елементарних перетворень одержимо:

(4.30)

.

 Звідси знаходимо



   У цьому випадку рівняння поверхні набуває вигляду