Квадратичні форми, їх приведення до діагонального (канонічного) вигляду. Приведення рівняння кривої другого порядку на площині до канонічного вигляду на основі теорії квадратичних форм. Модель Леонтьєва багатогалузевої економіки, Детальна інформація

Перетворення координат:



Підставивши ці формули в лінійну частину рівняння поверхні другого порядку, одержимо



У нових координатах рівняння буде таким:



  приведе до рівняння



(однопорожнинний гіперболоїд).

:



4.5. Застосування елементів лінійної алгебри в економіці

   Для розв’язування багатьох економічних задач використовуються елементи алгебри матриць, теорії систем лінійних алгебраїчних рівнянь. Особливо при розробці і використання баз даних: при роботі з ними майже вся інформація зберігається і обробляється в матричній формі.

4.5.1. Модель Леонт’єва багатогалузевої економіки

   Макроекономіка функціонування багатогалузевого господарства вимагає балансу між окремими галузями. Кожна галузь, з одного боку, є виробником, а з іншого – споживачем продукції, що випускається іншими галузями. Виникає досить непроста задача розрахунку зв’язку між галузями через випуск і споживання продукції різного виду. Вперше ця проблема була сформульована у вигляді математичної моделі в працях відомого американського економіста В.Леонт’єва в 1936 р., який спробував проаналізувати причини економічної депресії США 1929-1932 рр. Ця модель основана на алгебрі матриць і використовує апарат матричного аналізу.

 галузей, кожна з яких виробляє свій однорідний продукт. Для забезпечення виробництва кожна галузь потребує продукцію інших галузей. Процес виробництва розглядається за деякий період, наприклад, за рік.

   Введемо позначення:

ої галузі (її валовий випуск);

;

ої галузі, що призначена для реалізації (споживання) в невиробничій сфері, або так званий продукт кінцевого споживання. До нього відносяться особисте споживання громадян, задоволення суспільних потреб, утримання державних інститутів і т.д.

ої галузі повинен дорівнювати сумі об’ємів споживання в виробничій і невиробничій сферах. В найпростішій формі (гіпотеза лінійності) балансові співвідношення мають вигляд

(4.35)

   Рівняння (4.35) називаються рівняннями балансу.

 є технологічна константа.

називаються коефіцієнтами прямих затрат. Згідно з гіпотезою лінійності

  (4.36)

   Тоді рівняння (4.35) можна записати в матричній формі

(4.37)  

матриця коефіцієнтів прямих затрат: