Лінійна однорідна система з постійними коефіцієнтами. Застосування теорії диференціальних рівнянь в економіці. Поняття про різницеві методи. Модель ділового циклу Самуельсона-Хікса, Детальна інформація

12.13.1. Модель природного росту випуску продукції

 Частина вказаного доходу витрачається на інвестиції у виробництво, тобто:

                                   (12.71)

 

            Якщо виходити із припущення про не насиченість ринку (або про повну реалізацію випущеної продукції), то в результаті розширення виробництва буде отриманий приріст доходу, частина котрого знову буде використана для розширення випуску продукції. Це приведе до росту швидкості випуску (акселерації), причому швидкість випуску пропорційна збільшенню інвестицій, тобто

                               (12.72)

норма акселерації. Підставивши в (12.71) формулу (12.72). одержимо

                      (12.73)



Тоді одержимо частинний розв’язок, що задовольняє початкову умову,

                           (12.74)

12.13.2. Ріст випуску в умовах конкуренції

). Тепер із формул (12.71)-(12.73) одержимо нелінійне диференціальне рівняння першого порядку з відокремлюваними змінними

                    (12.75)

 зростаюча. Характер зростання функції визначається за допомогою похідної другого порядку



            Цю рівність можна перетворити, ввівши еластичність попиту

 одержимо

                                 (12.76)

 вверх, що означає сповільнений  ріст (насичення).

 лінійну (рис.12.3), тобто



Тоді рівняння (12.75) приймає вигляд

                                (12.77)

звідки 

                              (12.78)

 Приведений на рис.12.4 графік цієї функції (однієї із інтегральних кривих диференціального рівняння (12.77) ) – це логістична крива  .



          Рис. 12.3                                                  Рис.12.4

            Аналогічні криві характеризують і інші процеси, наприклад розмноження бактерій в органічному середовищі, динаміку епідемій всередині  обмеженої спільності біологічних організмів тощо.